Algorithmische Zahlentheorie by Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

By Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

Dr. Otto Forster ist Professor am Mathematischen Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München und Autor der bekannten Lehrbücher research 1-3.

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Der Default-Datentyp in ARIBAS ist integer; man darf array of integer durch array abkiirzen. Die nachste Funktion chin_inv ist die Umkehrung von chin_arr. 6. Die eingebaute ARIBAs-Funktion product berechnet das Produkt aller Komponenten eines Arrays und mod_inverse eml, M[i] ) ergibt das Inverse von ml modulo M[i] . function chin_inveX, M: array): integer; var m, ml, i, z: integer; begin m := product(M); z := 0; for i := 0 to length(M)-l do ml := m div M[i]; z := z + XCi] * ml * mod_inverseeml,M[i]); end; return z mod m; end.

Das erzeugende Element a von G liegt also in der von b erzeugten Untergruppe. Daraus folgt, dass auch b die Gruppe G erzeugt. Sei umgekehrt vorausgesetzt, dass b die Gruppe G erzeugt. Dann gibt es eine ganze Zahl v, so dass bV = a. h. anv - l = e. Lm. Das bedeutet aber, dass n und m teilerfremd sind. Beispiel. Ein schones Beispiel einer zyklischen Gruppe ist die multiplikative Gruppe der m-ten Einheitswurzeln im Korper der komplexen Zahlen C. Sie besteht aus den m Elementen e2bri / m , k = 0,1, ...

Beweis. 11 ganze Zahlen s, t, so dass sx = 1. Dann gibt es nach Co- + tm = 1. h. s mod mist ein Inverses von x mod m. Sei jetzt umgekehrt vorausgesetzt, dass x mod m in ZlmZ invertierbar ist mit Inversem y mod m. h. xy = 1 + km mit einer ganzen Zahl k. d. Bemerkung. Eine effiziente Berechnung des Inversen im Ring Z/mZ kann mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus (§4) erfolgen. 4. Corollar. Fur jede Primzahl p ist ZlpZ ein Korper. Beweis. h. das Element x E ZlpZ besitzt ein Inverses. Bezeichnung.

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