Analisis Funcional vs. Matricial by Demetrio Stojano ff

By Demetrio Stojano
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La Racionalidad en la Toma de Decisiones: Análisis de la Teoria de la Decisión de Herbert A. Simon

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El caso K = C se deduce del anterior usando la Obs. 3: Empiezo con una C-lineal ϕ ∈ S , y llamo φ = Re ϕ ∈ SR , que tambi´en est´a acotada por p. Extiendo φ a una R-lineal Ψ ∈ ER por el caso anterior, y tomo ahora Φ = ΨC . Luego Φ sigue acotada por p, y veo que tanto ϕ como Φ S tienen la misma parte real φ, por lo que deben coincidir. 5 (H-B y el dual). Sea E un EN. Sean S ⊆ E un subespacio y ϕ ∈ S ∗ . Entonces existe una funcional Φ ∈ E ∗ que cumple lo siguiente: 1. Φ extiende a ϕ, o sea que Φ(y) = ϕ(y), para todo y ∈ S.

Y →y+x 3. La funci´ on norma es continua. M´ as a´ un, vale la desigualdad ≤ x − y x − y = d (x, y) , x, y ∈ E . 2. Completar los detalles de la prueba de la Prop. 6: Sean E y F dos EN’s. Dado T ∈ Hom (E, F ), def T = T L(E,F ) = sup Tx F :x∈E y x E ≤1 . Entonces vale lo siguiente: 1. T = sup Tx F = m´ın M ≥ 0 : T x F ≤M x E para todo x ∈ E . x∈ BE 2. T ∈ C(E, F ) ⇐⇒ T < ∞. 3. Calcular la norma del operador de multiplicaci´on T ∈ L(SF ) dado por T x = (1 − 1 n ) xn p n∈N para cada x = (xn )n∈ N ∈ SF .

Demostraci´on. Si A : E → F es un iso lineal, y T ∈ L(E , Kn ) es alg´ un iso, la Prop. 1 nos asegura que tanto T como AT −1 : Kn → F deben ser isos de los buenos. Componiendo queda que A era anche h´omeo. O sea que E F v´ıa cualquier iso lineal. En particular, la identidad IE1,2 = IE : (E, N1 ) → (E, N2 ) es continua para los dos lados, o sea que es iso. 34) son consecuencia de la Ec. 31). La completitud y la compacidad de la bola BE salen combinando la Prop. 1 con la Prop. 2, usando que lo que se pide lo cumple Kn con la norma Eucl´ıdea.

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